Remove["Global`*"];
h=Table[N[10^-i],{i,1,5}];
For[i=1,i<6,i++,
	y[x_] = (Sqrt[x]);
	ℓ[x_] = k*x+m;
	(Subscript[x, 1])=1;
	(Subscript[y, 1])=1;
	(Subscript[x, 2])=1-h[[i]];
	(Subscript[y, 2])=(Sqrt[1-h[[i]]]);
	km= Solve[{(Subscript[y, 1])==k*(Subscript[x, 1])+m,(Subscript[y, 2])==k*(Subscript[x, 2])+m},{k,m}];
	nl[x_] = ℓ[x]/.km[[1]];
	δ[x_] = y[x]-nl[x];
	dδ =Solve[D[δ[x],x]==0,x]; (* x* *)
	val = δ[x]/.dδ[[1]];
	Print["h: ",h[[i]], " - x*: ",dδ[[1]][[1]] ," - δ*: ",val]
]

Remove["Global`*"];
y[x_] = (Sqrt[x]);
ℓ[x_] = k*x+m;
(Subscript[x, 1])=1;
(Subscript[y, 1])=1;
(Subscript[x, 2])=1-h;
(Subscript[y, 2])=(Sqrt[1-h]);
km= Solve[{(Subscript[y, 1])==k*(Subscript[x, 1])+m,(Subscript[y, 2])==k*(Subscript[x, 2])+m},{k,m}];
nl[x_] = ℓ[x]/.km[[1]];
δ[x_] = y[x]-nl[x];
dδ =Solve[D[δ[x],x]==0,x];
val = δ[x]/.dδ[[1]];

taylor =Normal[Series[val,{h,0,2}]]